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標高+1m

Make, Hack, Think

次元とそのエンコーディング

次元て言葉の意味を勘違いしてた。

0次元では点、1次元では線、2次元では面、3次元では立体、4次元で物体、5次元で並行宇宙が表現できるとかっていう時空的な次元について考えることが多かったけど、次元はもっと身近なところにあった。

情報の次元

次元ていうのはある情報に含まれる変数の数だ。つまり1つの変数を持った情報は1次元だし、3つの変数を持った情報は3次元だ。

たとえばrgb(r, g, b)これはr軸、g軸、b軸の3軸の空間に並べることができる。rgba(r, g, b, a)なら4本の軸が必要だ。

僕らの脳が瞬間瞬間に処理しているのは空間の三次元だけじゃなくて、他にも圧縮された次元がいくつもある。例えば目から得られる情報には、xyz空間の立体情報の他に、色がある。色は周波数や光量等の多次元情報が1次元程度に圧縮されて知性に届く。

音も面白い。演奏っていうのは、少なくとも楽器の数だけある情報の次元を時間軸,周波数軸,振幅軸の3次元に編み込む行為だ。

脳が一瞬中に処理している情報の次元数を数えてみると、パッと思いつくだけでもこれだけある

  • x,y,zで3
  • 音が2
  • 色が1
  • 温度が1
  • 湿度が1
  • 匂いが1
  • 触覚、痛覚が1
  • 味覚が4

さらにこのスナップショットが連なった記憶の次元がある

これを上から順にx,y,z,v,p,c,t,h,s,q,u0-u3,tとする。

僕らはこの15+次元の情報を目とか耳とか舌とかの感覚器官にマップしているけど、マッピングがこうである必然性はない。現生生物の目はx,y,z方向を向いているけど、進化の過程では例えばv,p,c空間を視ていた生物がいたかもしれない。現生生物の数倍の数の感覚器官を持っていたものの、生存に必要無いとして切り捨てられた情報次元もあるはずだ。

こんなに情報次元が多いのに、相対論的宇宙が世界を空間3次元+時間1次元として扱っているのは、これらの情報次元は全て素粒子の配置にエンコードできるという信念に基づいているからなんだと思う。これはひも理論も同じ。

位相幾何学のしっぽ

例えば2次元平面を考える。この平面に描いた長方形の周上の点は(x,y)で表すので十分だが、円を描いたとして、円周の点を表す時はx,yよりも半径と角度、つまり緯度、経度の方が扱いやすい。

3次元空間に置かれた球の表面の座標は、x,y,zの3次元情報よりも、lat,longの2次元情報の方が有用。球の表面が2次元ていうのはこういう意味。

4次元球の表面は3次元 www.kyoto-su.ac.jp

最近会社の創立10周年パーティーに向けて3Dのインタラクティブアニメーション作ってて、カメラにトーラスの内側を回らせたりしてて、位相幾何学って面白そうだっていうことはわかった。僕は数学を体系立てて学ぶのがどうしようもなく下手なんだけど、数学の表面を撫でるようなプログラミングは楽しい。三角関数とか行列もプログラム書いて初めてわかった。

とかの結果が視覚的に見える計算がお気に入り。うまくいくとパズルが解けたみたいで楽しい。